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\newtheorem{teo}{Teorema}
\newtheorem{prop}[teo]{Proposizione}
% \newtheorem*{cor}{Corollario}
\newtheorem{lemma}[teo]{Lemma}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{de}[teo]{Definizione}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{oss}[teo]{Osservazione}
\newtheorem*{es}{Esempio}
\newtheorem*{notaz}{Notazione}

\newcommand{\pin}[2]{\pi_{#2}(#1,x_0)}
\newcommand{\coppia}{(X,A)}
\newcommand{\ext}{X \times \{0\} \cup A \times I}
\newcommand{\x}{\times}

%opening
\title{Il teorema di Whitehead}
\author{Luigi Caputi}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Prime definizioni}
Per introdurre il teorema di Whitehead, nella sua versione classica, abbiamo bisogno di alcune definizioni preliminari,
prime tra tutte la definizione di \emph{gruppo di omotopia}.\\
Sia $ I^n $ il cubo unitario e $ \partial I^n $ il suo bordo; l'obiettivo è generalizzare la nozione di gruppo fondamentale 
per  uno spazio topologico $ X $ di punto base $ x_0 $.

\begin{de}
 Chiamiamo $ \pi_n(X,x_0) $ l'insieme delle classi di omotopia di coppia di mappe $ f \colon (I^n,\partial I^n) \to (X,x_0) $.
\end{de}
Ciò significa che una omotopia $ F: (I^n,\partial I^n) \times [0,1] \to (X,x_0) $  tra $ F_0 $ ed $ F_1 $, deve essere tale 
che per ogni $ t \in [0,1]$, $ F_t(\partial I^n)=x_0 $.\\
Come fatto per il gruppo fondamentale, introduciamo ora un prodotto tra gli elementi di  $ \pi_n(X,x_0) $ in modo da 
ottenere una struttura di gruppo. Per $f$, $g$ due rappresentanti definiamo
\[
 (f*g)(s_1,\dots,s_n)=
\begin{cases}
 \; f(2s_1,s_2,\dots,s_n) & \text{ per } s_1 \leq \frac{1}{2}\\
 \; g(2s_1-1,s_2,\dots,s_n) & \text{ per } s_1 \geq \frac{1}{2}
\end{cases}
\]
Tale operazione è ben definita; infatti, posto $ f_0 \sim f_1 $ e $ g_0 \sim g_1 $ di omotopie $F$ e $G$,  sia 
$H: I \x (I^n,\partial I^n) \to (X,x_0) $ tale che:
\[
 H(t,s_1,s_2,\dots,s_n)=
\begin{cases}
 \; F(t,2s_1,s_2,\dots,s_n) & \text{ per } s_1 \leq \frac{1}{2}\\
 \; G(t,2s_1-1,s_2,\dots,s_n) & \text{ per } s_1 \geq \frac{1}{2}   
\end{cases}
\]
\\Per costruzione di $f*g$ le coordinate $s_2,\dots,s_n$ restano fisse; quindi i risultati ottenuti per $\pi_1(X,x_0)$
si possono estendere, esattamente con le stesse dimostrazioni, al caso più generale di $\pi_n(X,x_0)$.\\
In particolare $ \pi_n(X,x_0) $ è gruppo con identità data dalla mappa costante, e inverso $ f^{-1}(s_1,\dots,s_n)= 
f(1-s_1,s_2,\dots,s_n) $.

\begin{oss}
 Le mappe $ f \colon (I^n,\partial I^n) \to (X,x_0) $ sono equivalenti a mappe da $(S^n,s_0)$ a $(X,x_0) $,
ottenute dalle prime collassando $ \partial I^n $ ad un punto. \\Per definire un'operazione tra queste nuove applicazioni,
 procediamo come segue: data una sfera $S^n$, decomponiamola come unione di due dischi, $D_+$ e $D_-$ tali che
 $ D_+ \cap D_-$ sia il suo equatore. Scegliamo $s_0 \in S^{n-1} \simeq  D_+ \cap D_-$ e collassiamo $ D_+ \cap D_-$, che è
omeomorfo a $S^{n-1}$, ad un punto. 
Abbiamo così definito una mappa $ \psi \colon S^n \to S_1^n \vee S_2^n$ nel bouquet di sfere, che manda l'equatore
in $s_0$. Siano $\alpha$, $\beta$ due rappresentanti in $\pin{X}{n}$, con $\alpha \colon (S^n,s_1) \to (X,x_0)$
e $\beta \colon (S^n,s_2) \to (X,x_0)$.\\
Dopo aver identificato tramite omeomorfismo canonico $(S_1^n,s_0)$ e $(S_2^n,s_0)$ con i domini di definizione  di 
$\alpha$ e $\beta$ definiamo il loro prodotto come
\[
 \alpha * \beta = 
\begin{cases}
 \; \alpha \psi (x) & \text{ per } x \in D_+\\
 \; \beta \psi (x) & \text{ per } x \in D_-
\end{cases}
\]
La composizione non dipende nuovamente dalla classe di omotopia di $\alpha$ e $\beta$, e $ \alpha \beta (s_0) = x_0 $; dunque
il prodotto $ ([\alpha],[\beta]) \to [\alpha * \beta] $ è ben definito e dà una struttura di gruppo equivalente alla
precedente.
\end{oss}
Abbiamo allora la seguente definizione, equivalente alla Definizione 1:
\begin{de}
 Chiamiamo $\pi_n(X,x_0)$ l'insieme delle classi di omotopia di mappe $f \colon (S^n,s_0) \to (X,x_0)$.
\end{de}


\begin{prop}
 $\pin{X}{n}$ è commutativo per $n\geq 2$.
\end{prop}
\begin{proof}
 Consideriamo la struttura di gruppo per $\pin{X}{n}$ data nella definizione precedente, e mostriamo che il prodotto $\alpha 
\beta$ è omotopo  a $\beta \alpha$.\\
Sia $S^n$ sfera unitaria immersa in $ \mathbb{R}^{n+1}$ identificato dalle coordinate $x_0,\dots,x_n$, con la decomposizione 
$ S^n= D_+ \cup D_- $, ed $ s_0=(0,1,\dots,0)$ un punto dell'equatore. \\
Consideriamo la rotazione $\rho_\phi$ di angolo $ 0 \leq \phi \leq\pi$ del piano generato da $ \{x_0,x_2\} $ che lascia
 fisso il complementare, quindi anche $s_0$. Per $\phi = 0$ $ \rho_0 = \mathbb{1}$ mentre
per $\phi = \pi$ $ \rho_{\pi} $ scambia i dischi $D_+$ e $D_-$ (sono stati identificati con l'insieme dei
 punti la cui prima coordinata è positiva o negativa). Quindi la famiglia di mappe  continue $\rho_{\phi}$ determina una 
omotopia  $R : [0,\pi] \x S^n \to X$ data da $R(\phi,x)= \alpha \beta (\rho_{\phi}(x))$ che ne scambia i domini; allora 
$ R(0,x)= \alpha \beta (\rho_{0}(x))= \alpha \beta (x) $ mentre $ R(\pi,x)= \alpha \beta (\rho_{\pi}(x))= \beta
 \alpha (x)$, ovvero la tesi.
\end{proof}
\begin{notaz}
 Per la proposizione precedente $\pi_n(X,x_0)$ è commutativo, dunque il prodotto $\alpha * \beta$ sarà anche, più
suggestivamente, indicato con $\alpha + \beta$.
\end{notaz}
Sia $X$ c.p.a. e scegliamo $x_0$ e $x_1$  in $ X$ con $x_1 \neq x_0$; esiste $\gamma \colon I \to X$ cammino tale che
$\gamma(0)=x_0$ e $\gamma(1)=x_1$, e consideriamo $f \colon (I^n,\partial I^n) \to (X,x_1)$ un rappresentante 
in $\pi_n(X,x_1)$.\\
Vorremmo associare ad $f$ una mappa $\tilde f \colon (I^n,\partial I^n) \to (X,x_0)$.
A questo scopo riscaliamo il dominio di $f$ al sotto-cubo $\tilde I^n = [\frac{1}{4},\frac{3}{4}]^n $ ed indichiamo 
con $\partial \tilde I^n $ il suo bordo. Preso $ p \in \partial \tilde I^n$ possiamo considerare un cammino tra $p$
ed un punto sul bordo di $I^n$ su cui applicare $\gamma$; ad esempio sia $r_p$ la semiretta uscente dall'origine passante
 per $ p $ e sia $\bar p= \partial I^n \cap r_p$. In questo modo associamo, bigettivamente, ad ogni punto del bordo 
di $ I^n$ un unico punto sul bordo di $\tilde I^n$; applicando $\gamma$ al segmento tra $\bar p$ e $ p$ abbiamo una
funzione $\gamma f \colon (I^n,\partial I^n) \to (X,x_0)$ che non dipende dalla classe di omotopia di $\gamma$ o 
$f$ e che per $n=1$ coincide con $[i(\gamma) f \gamma]$.
\begin{oss}
 Ad esempio, se $\gamma \sim \tilde \gamma$ di omotopia $G$ relativa a $\partial I$, allora l'omotopia $ \tilde G
\colon I^n \x I \to I^n$ tale che $\tilde G|_{\tilde I^n}=\mathbb{1}$ e $\tilde G|_s=G$, dove $s$ rappresenta il segmento 
tra $p$ e $\bar p$ al variare di $p$ in $\tilde{\partial I^n}$, è quella cercata tra $\gamma f$ e $\tilde \gamma f$.
\end{oss}

Tra le proprietà di $\gamma f$ abbiamo, in notazione additiva:
\begin{enumerate}
 \item $\gamma(f+g) \sim \gamma f +\gamma g$
 \item $(\gamma * \eta)f \sim \gamma (\eta f) $
 \item $ \mathbb{1}f \sim f $, con $\mathbb{1}$ cammino costante.
\end{enumerate}
Unica proprietà non banale è data dalla (1); per dimostrarla deformiamo $f$ e $g$ in modo che siano costanti, di costante
$x_1$, rispettivamente su $[\frac{1}{2},1]\x I^{n-1}$ e $[0,\frac{1}{2}]\x I^{n-1}$, e chiamiamo queste nuove applicazioni,
omotope alle precedenti, $f+0$ e $0+g$. Diamo allora una omotopia $H$ tra $ \gamma(f+0)+\gamma(0+g) $ e $ \gamma(f+g) $:
\[
 H_t(s_1,\dots,s_n)=
\begin{cases}
\gamma (f + 0) ((2-t)s_1,s_2,\dots,s_n) &  s_1\in [0,\frac{1}{2}] \\
\gamma (0 + g) ((2-t)s_1 + t - 1,s_2,\dots,s_n) &  s_1\in [\frac{1}{2},1]
\end{cases}
\]
Le proprietà elencate sopra ci permettono di costruire un omomorfismo di gruppi 
$ \beta_\gamma \colon \pi_n(X,x_1) \to \pi_n(X,x_0) $ tale che $ \beta_\gamma[f]=[\gamma f]$.\\ Infatti per (1) si ha 
$ \beta_\gamma[f+g]= [\gamma (f+g)] = [\gamma f] + [\gamma g] = \beta_\gamma[f] + \beta_\gamma[g]$
mentre per (3) $ \beta_1[f] = \mathbb{1} [f] = [f]$, ovvero $\beta_1$ è il morfismo identico;
se $\bar{\gamma}=\gamma^{-1} = \gamma(1-s)$ abbiamo $\beta_{\bar{\gamma}}[f]=[\bar{\gamma}f] $, e quindi per (2)
$\mathbb{1}= \beta_1 = \beta_{\gamma \bar{\gamma}}=\beta_\gamma \beta_{\bar{\gamma}}$ da cui otteniamo che $\beta_\gamma$ è 
un isomorfismo. Abbiamo così dimostrato la seguente
\begin{prop}
 Se $(X,x_0)$ è connesso per archi una scelta differente del punto base induce un isomorfismo tra i gruppi di omotopia.
\end{prop}

Nel caso specifico in cui $\gamma$ è un elemento di
 $\pi_1(X,x_0)$, abbiamo un omomorfismo $\beta$:
\[
\begin{array}{rccc}
 \beta \colon & \pi_1(X,x_0) & \longrightarrow & Aut(\pi_n(X,x_0)) \\
& \gamma & \longmapsto  & \beta_\gamma
\end{array}
\] 
Poiché $\beta_{\gamma \eta}=\beta_\gamma \beta_\eta$, $\beta$ definisce un'azione di $ \pi_1(X,x_0) $ su $\pin{X}{n}$, 
che per $n=1$ è azione di $ \pi_1(X,x_0) $ su sé stesso per automorfismo interno, mentre per $n>1$ rende il gruppo 
commutativo $\pin{X}{n}$ un modulo su $\mathbb{Z}[ \pi_1(X,x_0)] $.
Quest'ultimo è un anello i cui elementi sono somme finite $\sum_i n_i \gamma_i$ con $n_i\in\mathbb{Z}$ 
e $\gamma_i\in  \pi_1(X,x_0) $ e le operazioni sono invece date da:
\begin{list}{-}{}  
\item $\sum_i n_i \gamma_i + \sum_i m_i \gamma_i = \sum_i (n_i + m_i)\gamma_i$
\item $(\sum_i n_i \gamma_i)(\sum_j m_j \gamma_j)=\sum_{i,j} n_i m_j \gamma_i \gamma_j$
\end{list}
e l'azione che rende $\pin{X}{n}$ $\mathbb{Z}[\pi_1]$-modulo è definita da
\[
 (\sum_i n_i \gamma_i)\alpha=\sum_i n_i(\gamma_i \alpha) \text{ con } \alpha \in \pin{X}{n}
\]
\begin{de}
Uno spazio $X$ è detto \emph{abeliano} se l'azione descritta sopra è quella banale.
\end{de}

\begin{oss}
 Un morfismo di spazi puntati $ \varphi \colon (X,x_0) \to (Y,y_0) $  induce  in omotopia una mappa
\[
\begin{array}{rccc}
 \varphi_* \colon & \pi_n(X,x_0) & \longrightarrow & \pi_n(Y,y_0) \\
& [f] & \longmapsto  & [\varphi f ]
\end{array}
\]
Se $f \colon X \to Y$ è una funzione continua, sappiamo infatti che $\alpha \sim \beta$ implica $f\alpha \sim f \beta$, quindi 
$\varphi$ è ben definita; è un omomorfismo perché l'inverso di $f\alpha$ è $fi(\alpha)$ e $f(\alpha * \beta) \sim f\alpha *
f \beta $.\\
Sono verificate inoltre le proprietà funtoriali $(\varphi \psi)_*=\varphi_*\psi_*$ e $\mathbb{1}_*=\mathbb{1}$. Infine 
se $F_t$ è una omotopia di spazi puntati, si ha $F_0 \sim F_1$, e dunque $(F_0)_* = (F_1)_*$ in quanto $(F_0)_*[\alpha]=[F_0 \alpha]
=[F_1\alpha]=(F_1)_*[\alpha]$; in particolare una
 equivalenza omotopica induce isomorfismi in omotopia.
\end{oss}
Una proprietà molto interessante dei gruppi di omotopia superiori al primo è legata ai rivestimenti; infatti si ha la seguente
\begin{prop}
 Un rivestimento $p\colon (\tilde X, \tilde x_0) \to (X,x_0)$ induce un isomorfismo $p_* \colon \pi_n(\tilde X,\tilde x_0)
\to \pin{X}{n}$ per ogni $n\geq2$.
\end{prop}

\begin{proof}
 Sia $f$ un rappresentante in $ \pin{X}{n}$; per il teorema del sollevamento di applicazioni, 
poiché $\pi_1(S^n,s_0)$ per $n\geq2$ è banale, si ha il seguente diagramma commutativo:
\[
\begin{xymatrix}{
  & (\tilde X, \tilde x_0) \ar[d]^p  \\
(S^n,s_0) \ar@{-->}[ur]^{\tilde f} \ar[r]^f & (X,x_0)
}\end{xymatrix}
\]
con $\tilde f$ sollevamento di $f$. La classe $[\tilde f] $ è tale che $p_*[\tilde f]=[p\tilde f]=[f]$, ovvero $p_*$ è surgettiva.
\\Sia ora  $\tilde f_0 $ tale che $p_*[\tilde f]=f_0$ è omotopo alla mappa costante, con omotopia $F$. Per il teorema di 
sollevamento dell'omotopia $F$ si solleva a omotopia $\tilde F$ tra $\tilde f_0$ e un sollevamento della mappa costante, che è
 ancora costante. Dunque $p_*$ è anche iniettiva, ovvero un isomorfismo.
\end{proof} 

\begin{es}
 Se $X$ ammette rivestimento universale contraibile allora il gruppo di omotopia $\pin{X}{n}$ è nullo per ogni $n\geq2$.
\end{es}

\begin{es}
 Il toro $\mathbb{T}^n$ ammette $\mathbb{R}^n$ come rivestimento, quindi ha tutti i gruppi di omotopia, ad eccezione del primo,
 nulli. Osserviamo che questo è in contrasto con i gruppi di omologia che invece sono non banali.
\end{es}

\begin{de}
 Chiamiamo \emph{asferici} gli spazi con gruppi di omotopia tutti nulli per $n\geq2$.
\end{de}

\begin{prop}
Per un prodotto $\Pi_{\alpha}X_{\alpha}$ di una collezione di spazi connessi per archi abbiamo gli isomorfismi
$\pi_n(\Pi_{\alpha}X_{\alpha}) \simeq \Pi_{\alpha}\pi_n(X_{\alpha})$.
\end{prop}

\begin{proof}
 Una mappa $f \colon Y \to \Pi_{\alpha}X_{\alpha} $ si fattorizza per ogni indice ad $f_{\alpha} \colon Y \to X_{\alpha}$, 
da cui la tesi.
\end{proof}

\newpage
\section*{Omotopia relativa}
Una generalizzazione dei gruppi di omotopia necessaria alla dimostrazione del teorema di Whitehead è data dai 
\emph{gruppi di omotopia relativa}. Procediamo ora con la loro costruzione.\\
Sia $I^{n-1}$ la faccia di $I^n$ la cui ultima coordinata $s_n$ sia nulla, e sia 
$J^{n-1}$ la chiusura di $\partial I^n - I^{n-1}$, ovvero l'unione di tutte le restanti facce di $I^n$.
\begin{de}
 Per una coppia $(X,A)$ definiamo $\pi_n(X,A,x_0)$ come l'insieme delle classi di omotopia di applicazioni continue 
\[ 
 f \colon (I^n,\partial I^n, J^{n-1}) \to (X,A,x_0)
\]
con $f(\partial I^n) \subseteq A$, $f(J^{n-1})=x_0$, dove l'omotopia deve essere dello stesso tipo.
\end{de}

La coordinata $s_n$ di $J^{n-1}$ gioca un ruolo speciale nella definizione e non può più essere usata nella 
definizione di prodotto.
  Ciò nonostante, ricordando di non poter utilizzare la variabile $s_n$ per le operazioni di prodotto, con le stesse dimostrazioni 
fatte per il caso assoluto si ottengono risultati analoghi: $\pi_n(X,A,x_0)$ risulta essere un 
gruppo per $n\geq2$ (con la stessa operazione per $\pin{X}{n}$), abeliano per $n\geq3$.\\
Osserviamo che collassando $J^{n-1}$ ad un punto otteniamo, ancora in analogia col caso assoluto, una definizione equivalente 
di gruppo di omotopia relativo:
\begin{de}
 Chiamiamo \emph{gruppo di omotopia relativo} il gruppo $\pi_n(X,A,x_0)$ definito come l'insieme delle classi di equivalenza di mappe
\[ 
 f \colon (D^n,S^{n-1}, s_0) \to (X,A,x_0)
\]
\end{de}

Il vantaggio di questa definizione  risiede nel fatto che chiarisce meglio l'operazione di gruppo. Sia infatti $\psi$ la mappa 
$D^n \to D^n_1 \vee D^n_2$ ottenuta collassando l'intersezione del
disco con il piano $\{s_n=0\}$, e sia $s_0$ appartenente a $\partial D^n \cap \{s_n=0\}$.
Dopo aver identificato i domini di $\alpha$ e $\beta$ con $ (D^n_1,\partial D^n_1, \psi(s_0)) $ e
 $ (D^n_2, \partial D^n_2, \psi(s_0)) $, definiamo il loro prodotto come 
\[
 \alpha * \beta = 
\begin{cases}
 \; \alpha \psi (x) & \text{ se } x \in D^n \cap \{s_n\geq 0\}\\
 \; \beta \psi (x) & \text{ se } x \in D^n \cap \{s_n\leq 0\}
\end{cases}
\]
dove pensiamo $D^n\subseteq\mathbb{R}^n$ di coordinate $\{s_1,\dots,s_n\}$.\\
Tale prodotto è effettivamente un elemento di $\pi_n(X,A,x_0)$ in quanto $\alpha(s_0)$ e $\beta(s_0)$ danno $x_0$ e le immagini di
 $\partial D^n_1$ tramite $\alpha$, e di $\partial D^n_2$ tramite $\beta$ sono entrambe contenute in $A$.
\begin{oss}
Per $n=1$ questo prodotto non è applicabile in quanto $D^1$ è dato dall'intervallo $[-1,1]$, $\partial D^1=\{-1,1\}$ ed $s_0$
deve appartenere all'intersezione  $\partial D^1 \cap \{s_1=0\}=\partial D^1 \cap \{0\}$ che è vuota.
\end{oss}

Anche la commutatività già dimostrata nel caso assoluto si adatta ai gruppi relativi.\\
Per $n\geq3$ infatti, possiamo fissare $s_0$  sul primo asse coordinato e 
ruotare l'iperpiano ortogonale ottenendo l'omotopia cercata. \\
Per $n=2$ invece le rotazioni di $D^2$ lasciano come unico punto fisso il centro;
le omotopie che richiediamo tuttavia sono tali che $s_0$ rimanga fisso, ovvero $s_0=(0,0)$ contro l'ipotesi che $s_0\in
S^1$; quindi $\pi_2(X,A,x_0)$ non è gruppo commutativo.
\begin{prop}[Criterio di compressione]
 Una mappa $f$ rappresenta la classe nulla in $\pi_n(X,A,x_0)$ se e solo se è omotopa, relativamente ad $S^{n-1}$,
ad una mappa la cui immagine è interamente contenuta in $A$.
\end{prop}

\begin{proof}
 Supponiamo che $f\sim g$ tale che $Im(g)\subseteq A$. Se $R$ è una retrazione per deformazione del disco al punto $s_0$,
allora componendo con $g$ otteniamo una omotopia tra $g$ e l'applicazione costante $\mathbb{1}_{x_0}$. Possiamo considerare, 
ad esempio, $R_t(x)=t s_0  +(1-t)x$, da cui $g R \colon D^n \x I \to X$ è tale che $g R(x,t)=g(t s_0 +(1-t)x)$.\\
$R$ lascia fisso $s_0$ e $g$ ha immagine contenuta in $A$, con $g(s_0)=x_0$, dunque dà una equivalenza tra $g$ e 
$\mathbb{1}_{x_0}$. Si ha quindi $[f]=[g]=[0]$.\\
Viceversa, se $[f]=0$ con omotopia $F \colon D^n \x I \to X$, posso restringere quest'ultima ad una famiglia di
$n$-dischi, iniziando da $D^n  \x \{0\}$ e, progressivamente, considerare $D^n \x \{t\} \cup S^{n-1}\x [0,t]$, terminando con 
$D^n \x \{1\} \cup S^{n-1}\x I$. \\
Tutti questi dischi hanno lo stesso bordo $S^{n-1}$, dunque abbiamo una omotopia che lascia fisso $S^{n-1}$, tra $f$ 
ed una mappa con immagine contenuta in $A$, data dalla restrizione di $R$ a $D^n \x \{1\} \cup S^{n-1}\x I$. Ricordiamo infatti che
 le omotopie che consideriamo sono relative al bordo del disco, che per ipotesi ha immagine, tramite $f$, contenuta in $A$.
\end{proof}

Come nel caso assoluto, $\varphi \colon (X,A,x_0) \to (Y,B,y_0)$ induce per $n\geq 2$ un omomorfismo di gruppi
\[
 \varphi_* \colon \pi_n(X,A,x_0) \to \pi_n(Y,B,y_0)
\]
che è funtoriale.\\
Alle inclusioni $ i \colon (A,x_0) \to (X,x_0) $ e $j \colon (X,x_0,x_0) \to (X,A,x_0)$, possiamo dunque associare
gli omomorfismi $i_*$  e $j_*$ che danno luogo alla successione

\begin{equation*}\begin{CD}
 \dots @>{i_*}>> \pi_n(X,x_0) @>{j_*}>> \pi_n(X,A,x_0) @>{\partial_*}>> \pi_{n-1}(A,x_0) @>{i_*}>> & \dots \\
 \dots @>{j_*}>> \pi_1(X,A,x_0) @>{\partial_*}>> \pi_0(A,x_0)  @>{i_*}>> \pi_0(X,x_0)
\end{CD}\end{equation*}
\\[0.2cm]
dove la mappa $\partial_*$ viene dalla restrizione di $(I^n,\partial I^n, J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ a $I^{n-1}$, oppure dalla 
restrizione di $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ a $S^{n-1}$, a seconda delle definizioni di omotopia relativa usate. Inoltre
osserviamo che la successione finisce con il termine $\pi_0(X,x_0)$ perché non si è definito un $\pi_0$ relativo.

\begin{oss}
 Se $A = x_0$ allora il gruppo relativo $\pi_n(X,A,x_0)$ si riduce a quello assoluto $\pi_n(X,x_0)$; dunque il caso assoluto può
esser visto come caso particolare del caso relativo.
\end{oss}

\begin{teo}
 La successione è esatta.
\end{teo}

\begin{proof}
 Più in generale possiamo dimostrare l'esattezza della successione della tripla $(X,A,B,x_0)$ che si riconduce alla coppia
per $B=x_0$.
\begin{equation*}\begin{CD}
\dots@>{i_*}>>  \pi_n(X,B,x_0) @>{j_*}>> \pi_n(X,A,x_0) @>{\partial_*}>> \pi_{n-1}(A,B,x_0) @>{i_*}>> \dots
\end{CD}\end{equation*}
che finisce, come osservato sopra, con il termine $ \pi_1(X,A,x_0)$. \\
Puntualizziamo il fatto che alla fine della sequenza i $\pi_1$ relativi non hanno alcuna struttura di gruppo; l'esattezza ha però
ancora senso in quanto l'immagine di una mappa è data dal $ker$ della successiva, ovvero gli elementi mandati nella classe di omotopia
della mappa costante.\\
Si hanno le seguenti inclusioni:
\[
\text{ } 
\]
\begin{description}
\item[$Im(i_*)\subseteq Ker(j_*)$] $j_*i_* \colon \pi_n(A,B,x_0) \to \pi_n(X,A,x_0) $ ha immagine contenuta in $A$, quindi
per il criterio di compressione è la mappa nulla.
\item[$Ker(j_*) \subseteq Im(i_*)$] Sia $f$ tale che $j_*[f]=[0]$.\\
Vista come mappa in $\pi_n(X,A,x_0)$ tramite l'inclusione, $f$ è omotopa relativamente a $\partial I^n$ ad una mappa 
con immagine in $A$ per il criterio di compressione; quindi la classe $[f]\in \pi_n(X,B,x_0)$ è nell'immagine di $i_*$.
\end{description}
\[
\text{ } 
\]
\begin{description}
\item[$Im(j_*) \subseteq Ker(\partial_*)$] La restrizione di una mappa tramite $\partial_*$, da  $ (I^n,\partial I^n, J^{n-1})$ in $ (X,B,x_0) $
 ha immagine interamente contenuta in $B$, quindi rappresenta la classe nulla in $\pi_{n-1}(A,B,x_0)$.
\item[$Ker(\partial_*) \subseteq Im(j_*)$] Se la restrizione tramite $\partial_*$ di un rappresentante $f$ è nulla in
$\pi_{n-1}(A,B,x_0)$, allora $f$ è omotopa relativamente a $\partial I^{n-1}$ ad una mappa $g$ con immagine contenuta
in $B$. Sia $F$ tale omotopia, di dominio $I^{n-1}\x I $; poiché $f(\partial I^{n-1})=f(J^{n-1})=x_0$, si ha 
che $F_t(\partial I^{n-1})=x_0$ per ogni $t\in I$. \\
Consideriamo allora la funzione $H \colon (I^n,\partial I^n, J^{n-1}) \to (X,B,x_0)$ definita sull'incollamento 
dei domini di $f$ ed $F$ lungo $f|_{I^{n-1}}=F_1$. Tale mappa vale $f(x)$ per i punti la cui 
ultima coordinata è minore o uguale a $\frac{1}{2}$, $F(x)$ altrimenti. Ma allora $H$ è omotopa ad $f$ in $\pi_n(X,A,x_0)$
con omotopia che incolla, progressivamente, il dominio di $F$ al dominio di $f$. Quindi $[f]\in Im(j_*)$.
\end{description}
\[
\text{ } 
\]
\begin{description}
\item[$Im(\partial_*)\subseteq Ker(i_*)$]Se $f$ ha dominio $I^{n+1}$ allora la restrizione tramite delta $f|_{I^n}$ è 
omotopa alla mappa costante con omotopia data dalla stessa $f$.
\item[$Ker(i_*)\subseteq Im(\partial_*)$] Se $B$ è un punto, poiché deve essere $x_0 \in B$, si ha $B=x_0$ e quindi ci si 
riduce ai gruppi di omotopia assoluti; in tal caso, se $f_0=i_*(f)$ è omotopa alla mappa costante tramite omotopia 
$f_t \colon (I^n,\partial I^n) \to (X,x_0)$, allora quest'ultima dà una mappa  $F \colon (I^{n+1},\partial I^{n+1}, J^{n-1})
\to (X,A,x_0)$ la cui restrizione tramite $\partial_*$ è $f_0$, quindi la tesi.\\
Per un generico $B$, sia $F$ l'omotopia tra $f$ e la mappa costante, e sia $g$ la restrizione di $F$ a $I^{n-1}
\x I$, dove $I^{n-1}$ è la faccia del dominio di $f$ di coordinata $s_n$ nulla. 
Riparametrizzando le coordinate $s_n$, $s_{n+1}$ del dominio di $F$, possiamo incollare tra loro i domini di $f$
e $g$ ottenendo da $F$ un'omotopia con la mappa costante. Come visto sopra l'incollamento dei domini di $f$ e $g$ non cambia la 
classe di omotopia di $f$, quindi  $[f]$ è nell'immagine di delta.  
\end{description}
\end{proof}

\section*{Proprietà di estensione dell'omotopia}
Supponiamo di avere una mappa $ f_0 \colon X \to Y $ e un sottospazio $ A \subseteq X $ su cui sia definita una omotopia
$ F : A \times I \to Y $ tale che $ F_0 = f_0|_{A} $ che si vorrebbe estendere ad una omotopia definita su tutto
$ X $. Una coppia $ (X,A) $ per cui una tale estensione esiste sempre si dice avere la \emph{proprietà di
estensione dell'omotopia} abbreviata in \emph{h.e.p.} (homotopy extension property). \\
Osserviamo che tale proprietà equivale a richiedere che ogni mappa $F_0$ definita su $\ext$ si estende a tutto 
 $X \x I$, ovvero il seguente diagramma  è commutativo:
\[ 
\begin{xymatrix}{
X\x I \ar@{-->}[dr]^F& \\
\ext \ar[r] \ar@{^(->}[u]^\iota & Y 
}\end{xymatrix}
\]

\begin{oss}
 Supponiamo che $\coppia$ abbia la \emph{h.e.p.} e sia $ \mathbb{1}$ l'identità su $\ext$. Allora questa si estende ad una mappa $\tilde{ \mathbb{1}}
\colon X \times I \to \ext $ che è ancora l'identità su $\ext$; dunque $\ext$ è un retratto di $X \x I$.\\Viceversa, se $
r\colon X \x I \to \ext $ è retrazione, allora, componendo con $r$, ogni mappa $ \ext \to Y $ si può estendere a mappa
$ X \x I \to Y $. Resta da verificare la continuità di questa nuova mappa; ma ciò è facile se $A$ è chiuso in $X$, perché in tal caso
ogni coppia di mappe definite su $X \x \{0\}$ e $A \x I$, a valori in $Y$, tali che coincidano su $A \x \{0\}$, si combinano a mappa
su $\ext$ a valori in $Y$, continua per il lemma di incollamento perché continua sui chiusi $A \x I$ e $X \x \{0\}$.
\end{oss}

La proprietà di estensione dell'omotopia per una coppia $\coppia$, nel caso in cui $A$ sia un chiuso in $X$, è equivalente dunque a richiedere che
$\ext$ sia retratto di $X\x I$. \\
Per i nostri scopi considereremo coppie $\coppia$ di CW-complessi; per queste coppie tale equivalenza è vera in quanto un sottocomplesso cellulare $A$
è sempre chiuso in $X$.
\begin{prop}
 Se $\coppia$ è coppia di CW-complessi, allora $\ext$ è retratto per deformazione  di $ X \x I $; quindi $\ext$
ha la \emph{h.e.p}.
\end{prop}
\begin{proof}
Sia $r \colon D^n \x I \to D^n \x \{0\} \cup \partial D^n \x I$ una retrazione (ad esempio possiamo considerare la proiezione 
radiale dal punto $(0,2)$); allora $ r_t = tr + (1-t) \, \mathbb{1} $ dà una retrazione per deformazione di
$ D^n \x I $ su $ D^n \x \{0\} \cup \partial D^n \x I $.\\
Poiché $X^n \x I$ è ottenuto da $ X^n \times \{0\} \cup (X^{n-1} \cup A^n) \times I $ incollando copie di $ D^n \x I $
lungo $ D^n \x {0} \cup \partial D^n \x I $, abbiamo una retrazione per deformazione di $ X^n \x I $ su
$ X^n \times \{0\} \cup (X^{n-1} \cup A^n) \times I $. Riscaliamo tale deformazione sull'intervallo  $
[\frac{1}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n}] $ e indichiamola con $ R_n $. Iterando per ogni $n$ otteniamo una mappa 
$R$ da $X\x I$ in $\ext$ tale che su ogni sottointervallo $ [\frac{1}{2^{m+1}}, \frac{1}{2^m}] $ coincida con la 
retrazione $ R_m $ definita sull'$m$-scheletro di $X$.\\ Per la continuità in $0$ di $R$ osserviamo che  $R$ è
 continua su $ X^n \x I $ in quanto costante sull'intervallo $[0,\frac{1}{2^{n+1}}] $, quindi concludiamo che è continua
su tutto $X$ perché continua su tutti gli $n$-scheletri.
\end{proof}


\section*{$n$-connessione e teorema di Whitehead}
Poiché i CW-complessi sono dati per incollamento di mappe con dominio delle sfere, possiamo pensare che i gruppi di
omotopia di tali spazi diano molte informazioni; è da questo assunto che parte il lavoro di Whitehead.\\
Prima di enunciare e dimostrare il suo teorema diamo però delle definizioni poi necessarie:
\begin{de}
 Uno spazio $X$ di punto base $x_0$ è detto \emph{$n$-connesso} se $\pi_i(X,x_0)$ è nullo per ogni $i\leq n$.
\end{de}
Poiché $n$-connesso implica $0$-connesso, ovvero connesso per archi, e la scelta di un punto base diverso da $x_0$ 
induce per mezzo di $\beta_{\gamma}$ un isomorfismo in omotopia, la definizione di $n$-connessione può essere data 
senza menzionare il punto base.\\
Le seguenti condizioni sono equivalenti a quella di $n$-connessione: 
\begin{list}{-}{}
 \item Ogni mappa $S^i \to X$ è omotopa alla mappa costante per $i\leq n$;
 \item Ogni mappa $S^i \to X$ si estende ad una mappa sul disco per $i\leq n$;
 \item $\pi_i(X,x_0)=0$ per ogni $x_0 \in X$ e per $i\leq n$.
\end{list}
Per il caso relativo, grazie al criterio di compressione, si hanno le seguenti, equivalenti per $i > 0$ :
\begin{enumerate}
 \item Ogni mappa $(D^i,\partial D^i)\to (X,A)$ è omotopa relativamente a $\partial D^i$ ad una mappa $D^i \to A$;
 \item Ogni mappa $(D^i,\partial D^i)\to (X,A)$ è omotopa tramite omotopia dello stesso tipo ad una mappa $D^i \to A$;
 \item Ogni mappa $(D^i,\partial D^i)\to (X,A)$ è omotopa tramite omotopia dello stesso tipo ad una mappa costante
 $D^i \to A$;
 \item $\pi_i(X,A,x_0)=0$ per ogni $x_0 \in A$.
\end{enumerate}
La (4) segue dal fatto che anche nel caso relativo si può definire un isomorfismo di cambiamento punto base $\beta_{\gamma}$.\\ 
Per $i=0$ le condizioni (1)-(3) sono equivalenti a dire che ogni componente connessa per archi di $X$ contiene punti in $A$,
 in quanto $D^0$ è un punto, mentre per l'equivalenza con (4) non abbiamo una definizione di $\pi_0$ relativo.
\begin{de}
Diciamo che la coppia $(X,A)$ è \emph{$n$-connessa} se (1)-(4) valgono per $0<i\leq n$ e (1)-(3) per $i=0$.
\end{de}

\begin{de}
 Chiamiamo \emph{mapping cylinder} $ M_f $ di una mappa $ f $ tra $ X $ e $ Y $ lo spazio ottenuto da $Y$ incollando
$X \x I$ lungo $X \x \{1\} \text{ tramite } f$, ovvero 
\[ 
M_f= (Y \sqcup X \x I) /_\sim
\]
dove $(x,1) \sim f(x)$.
\end{de}
% 
% \begin{oss}
%  Se $M_f$ è il mapping cylinder di $f \colon X \to Y$, allora la coppia $(M_f, X \cup Y)$ ha la proprietà di estensione dell'omotopia;
%  infatti $M_f \x I$ si retrae su $M_f \x \{0\} \cup (X \cup Y)\x I$.
% \end{oss}


\begin{lemma}[Lemma di compressione]
 Sia $(X,A)$ una coppia di CW-complessi e $(Y,B)$ una coppia tale che $B \neq \emptyset $. Supponiamo che per ogni 
$n$ per cui $X-A$ ammette $n$-celle, $\pi_n(Y,B,y_0)=0$ per ogni $y_0 \in B$ (per $n=0$ supponiamo che la coppia
$(Y,B)$ sia $0$-connessa).\\
Allora ogni mappa $ f \colon (X,A) \to (Y,B)$ è omotopa relativamente ad $A$ ad una mappa $ X\to B$.
\end{lemma}

\begin{proof}
 Supponiamo induttivamente su $k$ di avere una omotopia (rel $A$) tra $f$ ed una mappa definita su $X^{k-1}$ con immagine in $B$.\\
Se $\phi$ è la mappa caratteristica di una cella $e^k$ di $X-A$, consideriamo la composizione
\begin{equation*}\begin{CD}
 (D^k,\partial D^k) @>{\phi}>> (X^k,X^{k-1}) @>{f}>> (Y,B)  
\end{CD}\end{equation*}
 Per $k=0$ la coppia $(Y,B)$ è $0$-connessa, quindi ogni mappa $(D^0,\partial D^0)\to (Y,B)$ è omotopa  ad una mappa
$D^0 \to B$; per $k\neq 0$ per ipotesi $\pi_k(Y,B,y_0)=0$ per ogni $y_0$, quindi $f \phi$ rappresenta la classe nulla, e per il
criterio di compressione è omotopa rel($\partial D^k$) ad una mappa con immagine in $B$.
In ambo i casi tale omotopia si estende allo spazio quoziente $ X^{k-1}\cup e^k \simeq  (X^{k-1} \sqcup D^k)/ \sim$.\\
Iterando per ogni $k$-cella di $X-A$ e prendendo l'identità su $A$, otteniamo dunque una omotopia di 
$f|_{X^k \cup A}$ con una mappa la cui immagine è interamente contenuta in $B$.\\
Per la proprietà di estensione dell'omotopia dei CW-complessi, dimostrata nella proposizione (19), questa si estende ad una
 omotopia definita su tutto $X$, concludendo il passo induttivo.\\
Se le celle di $X-A$ hanno dimensione limitata la tesi è provata per induzione, altrimenti restringiamo la $k$-esima
omotopia relativa al $k$-scheletro, all'intervallo $[1-1/2^k,1-1/2^{k+1}]$ ottenendo la tesi per incollamento (la continuità
è analoga alla proposizione (19) ).
\end{proof}

\begin{teo}[Teorema di Whitehead]
 Siano $X$, $Y$ CW-complessi. Se esiste $f \colon X \to Y$ per cui l'omomorfismo $f_*$ indotto in omotopia sia un
isomorfismo per ogni $n$, allora $f$ è una equivalenza omotopica.\\
Nel caso particolare in cui $f$ è l'inclusione di $X$ in $Y$ come sottocomplesso, allora $X$ risulta essere un retratto per 
deformazione di $Y$.
\end{teo}

\begin{proof}
 Supponiamo prima che $f$ sia l'inclusione di un sottocomplesso, e consideriamo la successione esatta lunga della 
coppia $(Y,X)$:
\begin{equation*}\begin{CD}
\dots @>{i_*}>> \pi_n(Y,x_0) @>{j_*}>> \pi_n(Y,X,x_0) @>{\partial_*}>> \pi_{n-1}(X,x_0) @>{i_*}>> \dots 
\end{CD}\end{equation*}
Poiché $i$ induce per ogni indice isomorfismi in omotopia, dalla successione esatta si ha che i $\pi_n(Y,X,x_0)$ sono tutti nulli.\\
Applichiamo allora il lemma di compressione all'identità di $(Y,X)$; infatti $X \neq \emptyset$ e per ogni $n$
 i gruppi di omotopia sono nulli, quindi l'identità è omotopa relativamente a $X$ ad una mappa $ Y \to X$ che è una retrazione,
dunque $X$ è retratto per deformazione di $Y$.\\
Per il caso generale consideriamo il mapping cylinder $M_f$; questo contiene infatti $X=X\x \{0\}$, sia $Y$ come 
sottospazi, e si deforma su $Y$. Possiamo dunque vedere $f$ come la composizione dell'inclusione $X \to M_f$
e della retrazione $M_f \to Y$.\\
Poiché questa retrazione è una equivalenza omotopica, è sufficiente mostrare che $M_f$ si deforma su $X$, se $f$
induce isomorfismi in omotopia, o equivalentemente, se i gruppi relativi $\pi_n(M_f,X)$ sono tutti nulli.\\
Se la mappa $f$ è cellulare, allora $(M_f,X)$ è coppia di CW-complessi e per la prima parte della dimostrazione
$X$ risulta retratto per deformazione di $M_f$.\\
Se $f$ non è cellulare, dal teorema di approssimazione cellulare sappiamo esistere una mappa $g \colon X \to Y$ che sia omotopa 
ad $f$. Dunque $X$ è ancora retratto per deformazione di $M_f$ e la dimostrazione è conclusa.
% Se $f$ non è cellulare applichiamo il lemma precedente per ottenere una omotopia rel $X$ dell'inclusione
% di $(X \cup Y,X)$ in $(M_f,X)$ con una mappa $ X\cup Y \to X$. Per la proprietà di estensione dell'omotopia di $(M_f,X \cup Y)$,
%  vista nell'osservazione (23), questa si estende ad 
% una omotopia tra l'identità di $M_f$ ed una mappa $g \colon M_f \to M_f$ che manda $X\cup Y$ in $X$.
% \\
% Riapplicando il lemma alla composizione 
% \begin{equation*}\begin{CD}
%  (X\x I \sqcup Y,X \x \partial I \sqcup Y) @>{}>> (M_f,X\cup Y) @>{g}>> (M_f,X)  
% \end{CD}\end{equation*}
% si ha la deformazione cercata di $M_f$ su $X$.
\end{proof}


\end{document}
